Cross Product

Produk silang, atau cross product, adalah operasi biner pada dua vektor dalam ruang tiga dimensi (R³) yang menghasilkan vektor lain yang tegak lurus terhadap kedua vektor asli. Produk silang sering digunakan dalam fisika, teknik, dan ilmu komputer, terutama dalam bidang yang berhubungan dengan rotasi, torsi, dan orientasi.

Definisi Matematis

Diberikan dua vektor a dan b dalam R³, produk silang mereka, ditulis sebagai a × b, didefinisikan sebagai vektor yang memiliki:

1. Besar (Magnitude): ||a × b|| = ||a|| ||b|| sin(θ), di mana θ adalah sudut antara a dan b, dan ||a|| serta ||b|| adalah besar (magnitude) dari vektor a dan b masing-masing.

2. Arah: Vektor a × b tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh a dan b. Arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan. Jika jari-jari tangan kanan Anda melengkung dari a ke b, maka ibu jari Anda menunjuk ke arah a × b.

Definisi Hasil Kali Silang

Misalkan \( \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) dan \( \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) adalah vektor-vektor di \( \begin{array}{cc} R_3 \end{array} \). Hasil kali silang dari \( \begin{array}{cc} u \end{array} \) dan \( \begin{array}{cc} v \end{array} \) ,dinotasikan sebagai \( \begin{array}{cc} u \end{array} \) \( \begin{array}{cc} x \end{array} \) \( \begin{array}{cc} v \end{array} \) ,adalah vektor:

\[\begin{split} \begin{matrix} u x v= \begin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ -(u_1v_3 - u_3v_1) \\ u_1v_2 - u_2v_1 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \end{split}\]

Contoh Hasil Kali Silang

Misalkan \( \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) dan \( \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \). Temukan \( \begin{array}{cc} u \end{array} \) \( \begin{array}{cc} x \end{array} \) \( \begin{array}{cc} v \end{array} \), dan verifikasi bahwa hasil kali silang ini tegak lurus terhadap baik \( \begin{array}{cc} u \end{array} \) maupun \( \begin{array}{cc} v \end{array} \)

\[\begin{split} \begin{matrix} u x v= \begin{bmatrix} -(1)(5) - (4)(2) \\ -((2)(5) - (4)(3)) \\ (2)(2) - -(1)(3) \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \end{split}\]

Solusi \( \begin{matrix} uxv= \begin{bmatrix} -13 \\ 2 \\ 7 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \)

Determinan Perkalian Silang

Jika dua vektor diberikan sebagai:

\[\begin{split} \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Maka hasil perkalian silang adalah:

\[\begin{split} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \mathbf{i} - \left( a_1 b_3 - a_3 b_1 \right) \mathbf{j} + \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \mathbf{k} \end{split}\]

Perhitungan ini menggunakan determinan matriks \(3 \times 3\) dan menghasilkan vektor di \(\mathbb{R}^3\).

Sifat-sifat Perkalian Silang

• \(\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})\) Anticommutative Property

2. a. \((\vec{u} + \vec{v}) \times \vec{w} = \vec{u} \times \vec{w} + \vec{v} \times \vec{w}\) Distributive Properties

b. \(\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}\) 3. \(c(\vec{u} \times \vec{v}) = (c\vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (c\vec{v})\) 4. a. \((\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0\) Orthogonality Properties

b. \((\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v} = 0\) 5. \(\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}\)

6. \(\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0}\)

7. \(\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}\) Triple Scalar Product

Implementasi Cross Product

a. Luas Jajarangenjang

Jika dua vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) membentuk sebuah jajargenjang, maka luasnya adalah:

\[ \text{Luas} = |\vec{a} \times \vec{b}| \]

Hasilnya adalah nilai skalar (magnitudo dari hasil cross product).

b. Luas Segitiga

Jika titik-titik membentuk segitiga, maka luasnya adalah:

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \]

c. Volume Paralelepiped

Sebuah paralelepiped dibentuk oleh tiga vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), dan \(\vec{c}\). Volumenya dihitung dengan triple scalar product:

\[ \text{Volume} = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \]

Hasilnya adalah nilai absolut dari skalar yang menunjukkan volume bangun tiga dimensi.

Latihan Soal

1. Tentukan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor \( \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) dan \( \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \).

2. Tentukan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor \( \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) dan \( \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \).

3. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik sudut \((0, 0, 0), (1, 3, -1), dan (2, 1, 1)\).

4. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik sudut \((5, 2, -1), (3, 6, 2), dan (1, 0, 4)\).

Jawaban

Soal 1

Diketahui \( \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) dan \( \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \).

Tulis ulang sebagai =

\[\begin{split} \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} , \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \end{split}\]

Maka:

\[\begin{split} \begin{matrix} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} (2)(0) - (0)(1) \\ -((1)(0) - (0)(2)) \\ (1)(1) - (2)(2) \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \end{split}\]

Hasil dari \( \begin{matrix} \vec{u} \times \vec{v}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \)

Luas dari jajaran genjang adalah \( = |\vec{u} \times \vec{v}| = |-3| = 3 \)

Soal 2

Diketahui \( \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \) dan \( \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \).

Tulis ulang sebagai =

\[\begin{split} \begin{matrix} u= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} , \begin{matrix} v= \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \end{split}\]

Maka:

\[\begin{split} \begin{matrix} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} (0)(0) - (0)(3) \\ -((2)(0) - (0)(0)) \\ (2)(3) - (0)(0) \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \end{split}\]

Hasil dari \( \begin{matrix} \vec{u} \times \vec{v}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} \)

Luas dari jajaran genjang adalah \( = |\vec{u} \times \vec{v}| = |6| = 6 \)

Soal 3

Diketahui titik-titik sudut segitiga:

\[ A = (0, 0, 0), \quad B = (1, 3, -1), \quad C = (2, 1, 1) \]

Buat dua vektor dari titik A:

\[ \vec{AB} = B - A = (1-0, 3-0, -1-0) = (1, 3, -1) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (2-0, 1-0, 1-0) = (2, 1, 1) \]

Cross product dari \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

Gunakan determinan:

\[\begin{split} \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} \end{split}\]

\[ = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) \]

\[ = \mathbf{i}(3 + 1) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(1 - 6) \]

\[ = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-5) \]

\[ = (4, -3, -5) \]

Panjang (magnitudo) dari vektor hasil cross product:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} \]

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \]

Luas segitiga adalah = \( \boxed{\frac{1}{2} \sqrt{50} \approx 3.54} \)

Soal 4

Diketahui titik-titik sudut segitiga:

\[ A = (5, 2, -1), \quad B = (3, 6, 2), \quad C = (1, 0, 4) \]

Buat dua vektor dari satu titik acuan (misalnya titik A):

\[ \vec{AB} = B - A = (3 - 5, 6 - 2, 2 - (-1)) = (-2, 4, 3) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (1 - 5, 0 - 2, 4 - (-1)) = (-4, -2, 5) \]

Cross product dari \(\vec{AB} \times \vec{AC}\)

Gunakan rumus determinan:

\[\begin{split} \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 5 \\ \end{vmatrix} \end{split}\]

\[ = \mathbf{i}(4 \cdot 5 - 3 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(-2 \cdot 5 - 3 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(-2 \cdot (-2) - 4 \cdot (-4)) \]

\[ = \mathbf{i}(20 + 6) - \mathbf{j}(-10 + 12) + \mathbf{k}(4 + 16) \]

\[ = \mathbf{i}(26) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(20) \]

\[ = (26, -2, 20) \]

Panjang vektor hasil cross product (magnitudo):

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{26^2 + (-2)^2 + 20^2} = \sqrt{676 + 4 + 400} = \sqrt{1080} \]

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1080} \]

Luas segitiga adalah = \( \boxed{\frac{1}{2} \sqrt{1080} \approx 16.43} \)