Matrix#
Matriks adalah susunan angka, simbol, atau ekspresi dalam bentuk tabel persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Matriks digunakan untuk merepresentasikan dan mengolah data dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, komputer, dan ekonomi.
Definisi Metrik#
Dalam matematika, metrik adalah suatu fungsi yang mengukur jarak antara dua elemen dalam suatu himpunan.
Secara formal, metrik adalah fungsi ( d ) yang memetakan pasangan elemen dari suatu himpunan ke bilangan real non-negatif, yaitu:
Di mana untuk setiap ( x, y ) dalam himpunan ( X ), nilai ( d(x, y) ) menyatakan jarak antara ( x ) dan ( y ).
sejarah Metrik#
konsep metrik dalam matematika berkembang seiring dengan kemajuan teori himpunan, analisis, dan geometri. Berikut adalah perjalanan historis perkembangan definisi metrik:
Awal Konsep Jarak dalam Geometri (Zaman Yunani Kuno) Konsep awal tentang “jarak” muncul dalam Geometri Euclidean yang dikembangkan oleh Euclid (sekitar 300 SM) dalam bukunya Elements. Euclid mendefinisikan jarak antara dua titik sebagai panjang ruas garis lurus yang menghubungkan keduanya. Definisi ini menjadi dasar bagi metrik Euclidean, yang tetap menjadi bentuk metrik paling umum digunakan hingga sekarang.
Perkembangan dalam Analisis dan Geometri Non-Euclidean (Abad ke-19) Carl Friedrich Gauss (1777–1855) dan Bernhard Riemann (1826–1866) memperluas konsep jarak ke dalam geometri diferensial. Riemann memperkenalkan metrik Riemannian, yang memungkinkan perhitungan jarak dalam ruang lengkung, berbeda dari geometri Euclidean.
Formalisasi Konsep Metrik dalam Teori Himpunan (Awal Abad ke-20) Maurice Fréchet (1878–1973) adalah salah satu matematikawan pertama yang secara eksplisit mendefinisikan ruang metrik pada tahun 1906 dalam konteks analisis fungsional. Definisi formal dari ruang metrik diperkenalkan sebagai himpunan dengan fungsi jarak 𝑑 d yang memenuhi sifat-sifat tertentu.
Generalisasi ke Ruang Topologi dan Matematika Modern (Abad ke-20 – Sekarang) Felix Hausdorff (1868–1942) memperluas teori ruang metrik dalam bukunya Grundzüge der Mengenlehre (1914), yang menjadi dasar bagi topologi modern. Studi lebih lanjut tentang metrik dilakukan dalam analisis fungsional, teori probabilitas, dan kecerdasan buatan.
Operasi Aritmatika Matriks#
Operasi aritmatika matriks melibatkan berbagai perhitungan dasar pada matriks, seperti:
Penjumlahan & Pengurangan – Dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang sesuai pada dua matriks dengan ukuran yang sama. Perkalian Skalar – Setiap elemen matriks dikalikan dengan suatu bilangan skalar. Perkalian Matriks – Menggunakan aturan perkalian baris-kolom. Matriks A (m×n) dapat dikalikan dengan matriks B (n×p) menghasilkan matriks baru berukuran (m×p). Transpose – Menukar baris menjadi kolom dan sebaliknya. Determinan – Menghitung nilai determinan yang berguna dalam mencari invers matriks. Invers – Matriks A memiliki invers jika dan hanya jika determinannya tidak nol, dilambangkan dengan A⁻¹.
Sejarah Singkat#
Konsep matriks pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun 1858 dalam kajiannya tentang teori grup dan transformasi linear. Namun, ide awalnya sudah ada sejak zaman matematikawan Cina kuno dalam metode penyelesaian sistem persamaan linear. Matriks kemudian berkembang pesat dengan kontribusi dari matematikawan seperti James Joseph Sylvester dan William Rowan Hamilton, terutama dalam bidang aljabar linear dan teori matriks modern.
Penjumlahan#
Penjumlahan Matriks#
Penjumlahan matriks adalah operasi aritmatika yang dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari dua matriks yang memiliki ukuran yang sama. Jika terdapat dua matriks A dan B dengan ukuran m × n, maka hasil penjumlahannya adalah matriks baru C dengan ukuran yang sama, di mana setiap elemen dihitung sebagai berikut:
Operasi ini bersifat komutatif dan asosiatif, sehingga urutan penjumlahan tidak mempengaruhi hasilnya.
Contoh:#
Misalkan terdapat dua matriks:
Maka hasil penjumlahan A + B adalah:
Penjumlahan matriks sering digunakan dalam berbagai bidang seperti grafika komputer, analisis data, dan sistem persamaan linear untuk mempermudah perhitungan serta pemodelan matematis dalam berbagai disiplin ilmu.
import numpy as np
import sympy as sy
# Definisi matriks dengan SymPy
a_sy = sy.Matrix([[2, 5, 9], [1, 5, 7], [4, 0, 6]])
b_sy = sy.Matrix([[-3, 7, 8], [1, -4, 6], [5, 8, 0]])
# Penjumlahan matriks
sum_matrix = a_sy + b_sy
print("\nPenjumlahan Matriks:")
for i in range(sum_matrix.rows):
print(f"{a_sy.row(i)} + {b_sy.row(i)} = {sum_matrix.row(i)}")
Penjumlahan Matriks:
Matrix([[2, 5, 9]]) + Matrix([[-3, 7, 8]]) = Matrix([[-1, 12, 17]])
Matrix([[1, 5, 7]]) + Matrix([[1, -4, 6]]) = Matrix([[2, 1, 13]])
Matrix([[4, 0, 6]]) + Matrix([[5, 8, 0]]) = Matrix([[9, 8, 6]])
perkalian matrix#
Perkalian matriks adalah operasi yang mengkombinasikan dua matriks untuk menghasilkan matriks baru dengan aturan tertentu. Jika terdapat matriks A berukuran (m × n) dan matriks B berukuran (n × p), maka hasil perkalian A × B adalah matriks baru C berukuran (m × p). Setiap elemen pada matriks hasil diperoleh dengan menjumlahkan hasil perkalian elemen-elemen dalam baris matriks pertama dengan elemen-elemen dalam kolom matriks kedua. Perkalian matriks tidak bersifat komutatif, artinya A × B ≠ B × A dalam kebanyakan kasus. Operasi ini banyak digunakan dalam berbagai bidang, seperti aljabar linear, grafika komputer, kecerdasan buatan, dan pemrosesan sinyal digital untuk merepresentasikan transformasi, sistem persamaan linear, serta analisis data yang kompleks.
import numpy as np
import sympy as sy
# Definisi matriks dengan SymPy
a_sy = sy.Matrix([[2, 5, 9], [1, 5, 7], [4, 0, 6]])
b_sy = sy.Matrix([[-3, 7, 8], [1, -4, 6], [5, 8, 0]])
# Perkalian matriks
prod_matrix = a_sy * b_sy
print("\nPerkalian Matriks:")
for i in range(prod_matrix.rows):
print(f"{a_sy.row(i)} * {b_sy} = {prod_matrix.row(i)}")
Perkalian Matriks:
Matrix([[2, 5, 9]]) * Matrix([[-3, 7, 8], [1, -4, 6], [5, 8, 0]]) = Matrix([[44, 66, 46]])
Matrix([[1, 5, 7]]) * Matrix([[-3, 7, 8], [1, -4, 6], [5, 8, 0]]) = Matrix([[37, 43, 38]])
Matrix([[4, 0, 6]]) * Matrix([[-3, 7, 8], [1, -4, 6], [5, 8, 0]]) = Matrix([[18, 76, 32]])
Penyelesaian persamaan menggunakan invers matrik#
Kita diberikan sistem persamaan linear:
\( \begin{aligned} -7x_1 - 6x_2 - 12x_3 &= -33 \\ 5x_1 + 5x_2 + 7x_3 &= 24 \\ x_1 + 4x_3 &= 5 \end{aligned} \)
1. Bentuk Matriks#
Sistem persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks:
\( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \)
dengan:
\( A = \begin{bmatrix} -7 & -6 & -12 \\ 5 & 5 & 7 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -33 \\ 24 \\ 5 \end{bmatrix} \)
Penyelesaian sistem menggunakan invers matriks diberikan oleh:
\( \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \)
Kita akan mencari \( A^{-1} \) menggunakan operasi baris elementer.
2. Menentukan \( A^{-1} \) Menggunakan Operasi Baris Elementer#
Kita mulai dengan matriks augmented:
\( \left[ A \,|\, I \right] = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} -7 & -6 & -12 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 5 & 7 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \)
Langkah 1: Ubah elemen (1,1) menjadi 1 Kita bagi baris pertama dengan \( -7 \):
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{6}{7} & \frac{12}{7} & -\frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 5 & 5 & 7 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \)
Langkah 2: Nulifikasi elemen (2,1) dan (3,1)
Baris kedua: \( R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1 \)
Baris ketiga: \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \)
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{6}{7} & \frac{12}{7} & -\frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{7} & \frac{1}{7} & \frac{5}{7} & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{6}{7} & \frac{16}{7} & \frac{1}{7} & 0 & 1 \end{array} \right] \)
Langkah 3: Ubah elemen (2,2) menjadi 1
Kita kalikan baris kedua dengan \( \frac{7}{5} \):
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{6}{7} & \frac{12}{7} & -\frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & -\frac{6}{7} & \frac{16}{7} & \frac{1}{7} & 0 & 1 \end{array} \right] \)
Langkah 4: Nulifikasi elemen (1,2) dan (3,2)
Baris pertama: \( R_1 \leftarrow R_1 - \frac{6}{7} R_2 \)
Baris ketiga: \( R_3 \leftarrow R_3 + \frac{6}{7} R_2 \)
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \frac{10}{7} & -\frac{5}{21} & -\frac{6}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{22}{7} & \frac{11}{35} & \frac{42}{35} & 1 \end{array} \right] \)
Langkah 5: Ubah elemen (3,3) menjadi 1
Kita kalikan baris ketiga dengan \( \frac{7}{22} \):
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \frac{10}{7} & -\frac{5}{21} & -\frac{6}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{10} & \frac{21}{22} & \frac{7}{22} \end{array} \right] \)
Langkah 6: Nulifikasi elemen (1,3) dan (2,3)
Baris pertama: \( R_1 \leftarrow R_1 - \frac{10}{7} R_3 \)
Baris kedua: \( R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{5} R_3 \)
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{8}{21} & -\frac{9}{5} & -\frac{10}{22} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{5} - \frac{1}{50} & \frac{7}{5} - \frac{21}{110} & -\frac{7}{110} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{10} & \frac{21}{22} & \frac{7}{22} \end{array} \right] \)
Setelah disederhanakan, kita dapatkan invers matriks \( A^{-1} \):
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{8}{21} & -\frac{9}{5} & -\frac{5}{11} \\ \frac{2}{7} & \frac{37}{35} & -\frac{7}{55} \\ \frac{1}{10} & \frac{21}{22} & \frac{7}{22} \end{bmatrix} \)
3. Menghitung \( \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \)#
\( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -\frac{8}{21} & -\frac{9}{5} & -\frac{5}{11} \\ \frac{2}{7} & \frac{37}{35} & -\frac{7}{55} \\ \frac{1}{10} & \frac{21}{22} & \frac{7}{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -33 \\ 24 \\ 5 \end{bmatrix} \)
Setelah dihitung, diperoleh:
\( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Jadi, solusi dari sistem persamaan adalah:
\( x_1 = 1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 1 \)
Determinan Matrik#
Determinan matrik adalah suatu nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen dalam matrik persegi. Determinan matrik hanya dapat dicari dengan matrik persegi.
Minor Matrik#
Minor matrik adalah determinan dari submatrik yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom tertentu dari matrik aslinya. Minor digunakan dalam perhitungan cofactor dan determinan matrik berukuran lebih besar.
Cofactor Matrik#
Cofactor matrik adalah matrik baru yang elemen-elemennya dalah cofactor dari matrik asalnya, yang diperoleh dengan mengalikan minor elemen matrik dengan \((-1)^{i+j}\) . Cofactor digunakan dalam menghitung determinan dan invers matrik.
Mencari determinan dengan konsep minor dan cofactor matrik. Berikan contoh matrik \(3 \times 3\), \(4 \times 4\), dan \(5 \times 5\)
#
1. Determinan Matrik \(3 \times 3\)#
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)
Menentukan determinan menggunakan ekspansi baris pertama :
\( \det(A) = 2C_{11} - 3C_{12} + 1C_{13} \)
Minor dan Kofaktor:
Minor \(M_{11}\) adalah determinan dari submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris 1 dan kolom 1:
\(\begin{aligned} M_{11} &= \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} \\ &= (5 \times 9) - (6 \times 8) \\ &= 45 - 48 \\ &= -3 \end{aligned}\)
Cofactor :
\(\begin{aligned} C_{11} &= (-1)^{1+1} M_{11} \\ &= (-1)^2 (-3) \\ &= -3 \end{aligned}\)
Minor \(M_{12}\) adalah determinan dari submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris 1 dan kolom 2:
\(\begin{aligned} M_{12} &= \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} \\ &= (4 \times 9) - (6 \times 7) \\ &= 36 - 42 \\ &= -6 \end{aligned}\)
Cofaktor:
\(\begin{aligned} C_{12} &= (-1)^{1+2} M_{12} \\ &= (-1)^3 (-6) \\ &= 6 \end{aligned}\)
Minor \(M_{13}\) adalah determinan dari submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris 1 dan kolom 3:
\(\begin{aligned} M_{13} &= \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ &= (4 \times 8) - (5 \times 7) \\ &= 32 - 35 \\ &= -3 \end{aligned}\)
Kofaktor:
\(\begin{aligned} C_{13} &= (-1)^{1+3} M_{13} \\ &= (-1)^4 (-3) \\ &= -3 \end{aligned}\)
Determinan
\( \det(A) = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \)
\(\begin{aligned} \det(A) &= (2 \times -3) - (3 \times 6) + (1 \times -3) \\ &= -6 - 18 - 3 \\ &= -27 \end{aligned}\)
2. Determinan Matrik \(4 \times 4\)#
\( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
Menentukan determinan menggunakan ekspansi baris pertama :
\( \det(B) = 1C_{11} - 2C_{12} + 3C_{13} - 4C_{14} \)
Minor dan Kofaktor:
Minor \(M_{11}\) :
\(\begin{aligned} M_{11} &= \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= 1 (1 \times 1 - 2 \times 2) - 4 (4 \times 1 - 2 \times 3) + 3 (4 \times 2 - 1 \times 3) \\ &= 1 (1 - 4) - 4 (4 - 6) + 3 (8 - 3) \\ &= 1 (-3) - 4 (-2) + 3 (5)\\ &= -3 + 8 + 15\\ &= 20 \end{aligned}\)
Cofactor :
\(\begin{aligned} C_{11} &= (-1)^{1+1} M_{20} \\ &= (-1)^2 (20) \\ &= 20 \end{aligned}\)
Minor \(M_{12}\) :
\(\begin{aligned} M_{12} &= \begin{vmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= 2 (1 \times 1 - 2 \times 2) - 4 (3 \times 1 - 2 \times 4) + 3 (3 \times 2 - 1 \times 4) \\ &= 2 (1 - 4) - 4 (3 - 8) + 3 (6 - 4) \\ &= 2 (-3) - 4 (-5) + 3 (2)\\ &= -6 + 20 + 6\\ &= -20 \end{aligned}\)
Cofactor :
\(\begin{aligned} C_{12} &= (-1)^{1+2} M_{20} \\ &= (-1)^3 (20) \\ &= -20 \end{aligned}\)
Minor \(M_{13}\) :
\(\begin{aligned} M_{13} &= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= 2 (4 \times 1 - 2 \times 3) - 1 (3 \times 1 - 2 \times 4) + 3 (3 \times 3 - 3 \times 4 - 4) \\ &= 2 (4 - 6) - 1 (3 - 8) + 3 (9 - 16) \\ &= 2 (-2) - 1 (-5) + 3 (-7)\\ &= -4 + 5 - 21\\ &= -20 \end{aligned}\)
Cofactor :
\(\begin{aligned} C_{13} &= (-1)^{1+3} M_{-20} \\ &= (-1)^4 (-20) \\ &= -20 \end{aligned}\)
Minor \(M_{14}\) :
\(\begin{aligned} M_{14} &= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ \end{vmatrix} \\ &= 2 (4 \times 2 - 1 \times 3) - 1 (3 \times 2 - 1 \times 4) + 4 (3 \times 3 - 4 \times 4 ) \\ &= 2 (8 - 3) - 1 (6 - 4) + 4 (9 - 16) \\ &= 2 (5) - 1 (2) + 4 (-7)\\ &= 10 - 2 - 28\\ &= -20 \end{aligned}\)
Cofactor :
\(\begin{aligned} C_{14} &= (-1)^{1+4} M_{-20} \\ &= (-1)^5 (-20) \\ &= 20 \end{aligned}\)
Determinan
\( \det(B) = 1C_{11} - 2C_{12} + 3C_{13} - 4C_{14} \)
\(\begin{aligned} \det(B) &= (1 \times 20) - (2 \times -20) + (3 \times -20) - (4 \times 20)\\ &= 20 + 40 - 60 - 80 \\ &= -80 \end{aligned}\)
3. Determinan Matrik \(5 \times 5\)#
\( C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{bmatrix} \)
Menentukan determinan menggunakan ekspansi baris pertama :
\( \det(C) = 1C_{11} - 2C_{12} + 3C_{13} - 4C_{14} - 5C_{15} \)
Minor dan Kofaktor:
Minor \(M_{11}\) :
\(M_{11} = \begin{vmatrix} 7 & 8 & 9 & 10 \\ 12 & 13 & 14 & 15 \\ 17 & 18 & 19 & 20 \\ 22 & 23 & 24 & 25 \end{vmatrix}\)
Kita hitung minor \(3 \times 3\)
\(\begin{aligned} M_{11} &= \begin{vmatrix} 13 & 14 & 15 \\ 18 & 19 & 20 \\ 23 & 24 & 25 \end{vmatrix} \\ &= 13 (19 \times 25 - 20 \times 24) - 14 (18 \times 25 - 20 \times 23) + 15 (18 \times 24 - 19 \times 23) \\ &= 13 (475 - 480) - 14 (450 - 460) + 15 (432 - 437) \\ &= 13 (-5) - 14 (-10) + 15 (-5)\\ &= -65 + 140 -75\\ &= 0 \end{aligned}\)
Cofactor :
\(\begin{aligned} C_{11} &= (-1)^{1+1} M_{20} \\ &= (-1)^2 (0) \\ &= 0 \end{aligned}\)
Determinan
\( \det(C) = 1C_{11} - 2C_{12} + 3C_{13} - 4C_{14} + 5C_{15} \)
Karena setiap minor dari baris pertama menghasilkan determinan 0, maka :
\(\begin{aligned} \det(C) &= 1 (0) - 2 (0) + 3 (0) - 4 (0) + 5 (0)\\ &= 0 \end{aligned}\)