Definisi eigen values dan eigen vaktor

Definisi eigen values dan eigen vaktor#

-mencari eigen values dan eigen vektor dengan polynomial characteristik

-tambah cara mendapatkan eigen value dan vektor

catatan urutkan eigen vektor berdasarkan eigen values

contoh soal

a. $\( \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)$

b. $\( \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \)$

Definisi Eigen Value dan Eigen Vektor#

Diberikan suatu matriks kuadrat \(( A )\), maka:

  • Eigen value \((λ)\) adalah skalar yang memenuhi: $\( \det(A - \lambda I) = 0 \)$ Ini disebut sebagai persamaan karakteristik.

  • Eigen vektor \((\vec{v})\) adalah vektor tak nol yang memenuhi: $\( A\vec{v} = \lambda \vec{v} \)$

Langkah-Langkah Penyelesaian#

  1. Hitung eigen value \(( \lambda )\) menggunakan determinan dari \( A - \lambda I \)

  2. Untuk setiap \( \lambda \), cari eigen vektor dengan menyelesaikan \(( (A - \lambda I)\vec{v} = 0 )\)

  3. Urutkan eigen vektor berdasarkan urutan eigen value

Soal a#

Matriks: $\( A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)$

1. Eigen Value#

\[\begin{split} \det\left(\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) = \det\begin{bmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} = (3 - \lambda)^2 = 0 \end{split}\]
\[ \Rightarrow \lambda = 3 \quad \text{(multiplicity 2)} \]

2. Eigen Vektor#

\[\begin{split} (A - 3I)\vec{v} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \vec{v} = 0 \end{split}\]

Semua vektor tak nol adalah solusi. Ambil dua basis: $\( \vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \)$

Soal b#

Matriks: $\( A = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \)$

1. Eigen Value#

\[\begin{split} \det\left(\begin{bmatrix} -2 - \lambda & 0 \\ 0 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (-2 - \lambda)(4 - \lambda) \end{split}\]
\[ \Rightarrow \lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = 4 \]

2. Eigen Vektor#

Untuk \( \lambda_1 = -2 \): $\( A + 2I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow v_2 = 0, \quad v_1 \text{ bebas} \Rightarrow \vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \)$

Untuk \( \lambda_2 = 4 \): $\( A - 4I = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow v_1 = 0, \quad v_2 \text{ bebas} \Rightarrow \vec{v}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \)$

Kesimpulan#

Soal a:#

  • Eigen value: \( \lambda = 3 \) (multiplicity 2)

  • Eigen vektor:
    \( \vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \)

Soal b:#

  • Eigen value: \( \lambda_1 = -2, \lambda_2 = 4 \)

  • Eigen vektor:

    • Untuk \( \lambda = -2 : \vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \)

    • Untuk \( \lambda = 4 :\vec{v}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \)

  • Urutan berdasarkan eigen value: $\( (-2, \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}), \quad (4, \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}) \)$

Matrik A#

import numpy as np

# Matriks A
A = np.array([[3, 0], [0, 3]])

# Menghitung eigenvalue dan eigenvector
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# Mengurutkan berdasarkan nilai eigenvalue
idx = np.argsort(eigenvalues)  # indeks pengurutan
eigenvalues_sorted = eigenvalues[idx]
eigenvectors_sorted = eigenvectors[:, idx]  # urutkan kolom sesuai idx

# Cetak hasil
print("Eigenvelue: ")
print(eigenvalues_sorted)

print("Urutan Eigenvector berdasarkan Eigenvalue: ")
print(eigenvectors_sorted)

Eigenvelue: 
[3. 3.]
Urutan Eigenvector berdasarkan Eigenvalue: 
[[1. 0.]
 [0. 1.]]

Matrik B#

import numpy as np

# Matriks A
A = np.array([[-2, 0], [0, 4]])

# Menghitung eigenvalue dan eigenvector
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# Mengurutkan berdasarkan nilai eigenvalue
idx = np.argsort(eigenvalues)  # indeks pengurutan
eigenvalues_sorted = eigenvalues[idx]
eigenvectors_sorted = eigenvectors[:, idx]  # urutkan kolom sesuai idx

# Cetak hasil
print("Eigenvelue: ")
print(eigenvalues_sorted)

print("Urutan Eigenvector berdasarkan Eigenvalue: ")
print(eigenvectors_sorted)

Eigenvelue: 
[-2.  4.]
Urutan Eigenvector berdasarkan Eigenvalue: 
[[1. 0.]
 [0. 1.]]
Contents